دليل شامل للحاسبة
حجم الكرة يساوي 4/3 × π × نصف القطر³، ومساحة سطحها تساوي 4 × π × نصف القطر². كرة قدم نصف قطرها نحو 11 سم حجمها 5,575 سم³، أي قرابة 5.6 لتر، ومساحة سطحها 1,521 سم². أدخل نصف القطر بأي وحدة لتظهر النتيجتان فورًا.
قانونا الحجم والمساحة
الحجم: ح = 4/3 × π × نق³. نصف القطر هنا مرفوع للقوة الثالثة، أي مضروب في نفسه ثلاث مرات. لكرة نصف قطرها 11 سم: 11³ = 1,331، و4/3 × π × 1,331 = 5,575 سم³.
المساحة السطحية: م = 4 × π × نق². وهي تساوي بالضبط أربعة أضعاف مساحة دائرة لها نصف القطر نفسه. لكرة نصف قطرها 11 سم: 4 × π × 121 = 1,521 سم².
ومن طرائف القانونين أن الكرة التي نصف قطرها 3 وحدات يتساوى رقما حجمها ومساحتها: 113.1، وإن اختلفت وحدتاهما.
كيف تعرف نصف القطر
قياس نصف قطر كرة مباشرة صعب، لأن مركزها داخلها. الأسهل أن تلف شريط قياس حول أعرض جزء منها لتعرف المحيط، ثم تقسمه على 2π: نق = المحيط ÷ 6.2832.
كرة القدم الرسمية مقاس 5 محيطها بين 68 و70 سم، فنصف قطرها نحو 11 سم. وإن كنت تعرف القطر فاقسمه على 2.
لماذا يكبر الحجم بهذه السرعة؟
لأن نصف القطر مكعب في القانون. إذا ضاعفت نصف القطر تضاعف الحجم 8 مرات، بينما تتضاعف المساحة 4 مرات فقط. كرة نصف قطرها متر واحد حجمها 4.19 م³، وأخرى نصف قطرها متران حجمها 33.5 م³.
ولهذا السبب تُصنع الخزانات الكروية في الصناعة: الكرة تحتوي أكبر حجم ممكن لكل متر مربع من الجدار، فتحتاج مادة أقل لتخزين الكمية نفسها، وتتوزع عليها ضغوط الغاز بالتساوي.
نصف الكرة
حجم نصف الكرة نصف حجم الكرة: 2/3 × π × نق³. احسب حجم الكرة كاملة ثم اقسمه على 2. قبة نصف قطرها 3 أمتار حجمها 113.1 ÷ 2 = 56.5 م³.
أما مساحة نصف الكرة فليست نصف مساحة الكرة إن كان لها قاعدة مسطحة. السطح المنحني وحده 2π × نق²، وإن أضفت القاعدة الدائرية π × نق² أصبحت المساحة الكلية 3π × نق².
طريقة الاستخدام
- 01أدخل نصف القطر واختر وحدته: مم أو سم أو م أو إنش أو قدم.
- 02إن كنت تعرف القطر فاقسمه على 2، وإن كنت تعرف المحيط فاقسمه على 6.2832.
- 03اختر وحدة الحجم، كاللتر للكرات والخزانات، ووحدة المساحة.
- 04تظهر النتيجتان فورًا، ولنصف الكرة اقسم الحجم على 2.
المعادلة المستخدمة
الحجم = 4/3 × π × نق³ | المساحة السطحية = 4 × π × نق²أمثلة عملية
مثال 1: كرة قدم
نصف قطر 11 سم: الحجم = 4/3 × π × 1,331 = 5,575 سم³، أي نحو 5.6 لتر، والمساحة = 4 × π × 121 = 1,521 سم².
مثال 2: خزان كروي
نصف قطر متر واحد: الحجم = 4/3 × π = 4.19 م³، أي نحو 4,189 لترًا، والمساحة 12.57 م².
مثال 3: كرة نصف قطرها 3 سم
الحجم = 4/3 × π × 27 = 113.1 سم³، والمساحة = 4 × π × 9 = 113.1 سم². تساوى الرقمان لأن 4/3 × نق³ = 4 × نق² حين يكون نق = 3.
نصائح مهمة
- لا تخلط بين القطر ونصف القطر، فاستخدام القطر يضاعف الحجم 8 مرات.
- لحساب حجم مادة قشرة كروية، كالكرة المجوفة، اطرح حجم الكرة الداخلية من حجم الخارجية.
- 1,000 سم³ تساوي لترًا واحدًا.
أخطاء شائعة يجب تجنّبها
- تربيع نصف القطر في قانون الحجم بدل تكعيبه.
- إدخال القطر مكان نصف القطر.
- اعتبار مساحة نصف الكرة نصف مساحة الكرة مع نسيان القاعدة المسطحة.
الأسئلة الشائعة
- ما قانون حجم الكرة؟
- الحجم = 4/3 × π × نق³، حيث نق نصف القطر وπ ≈ 3.1416.
- ما قانون مساحة سطح الكرة؟
- المساحة = 4 × π × نق²، أي أربعة أضعاف مساحة دائرة لها نصف القطر نفسه.
- كيف أحسب حجم نصف الكرة؟
- احسب حجم الكرة واقسمه على 2، أو استخدم 2/3 × π × نق³ مباشرة.
- كيف أعرف نصف قطر الكرة من محيطها؟
- اقسم المحيط على 2π، أي على 6.2832 تقريبًا. محيط 69 سم يعطي نصف قطر نحو 11 سم.
- لماذا يتضاعف الحجم 8 مرات عند مضاعفة نصف القطر؟
- لأن نصف القطر مرفوع للقوة الثالثة في قانون الحجم، و2³ = 8. أما المساحة فتتضاعف 4 مرات لأن نصف القطر فيها مربع.