دليل شامل للحاسبة
حاسبة مسألة مونتي هول تحسب احتمال الفوز إذا بدّلت اختيارك وإذا بقيت عليه، في اللغز المشهور: جائزة خلف أحد الأبواب، تختار بابًا، ثم يفتح المقدم، وهو يعرف مكانها، أبوابًا فارغة ويعرض عليك التبديل. مع 3 أبواب يرفع التبديل فرصتك من 33.33% إلى 66.67%. وتصلح الحاسبة لأي عدد من الأبواب.
لماذا التبديل أفضل؟
حين اخترت بابك كانت فرصته 1 من 3، ولا تتغير بعد أن يفتح المقدم بابًا فارغًا، لأنه يعرف مكان الجائزة ولن يفتح بابها أبدًا. أما الثلثان الباقيان فكانا للبابين الآخرين معًا، وبعد استبعاد أحدهما يتركزان في الباب الباقي.
ويتضح الأمر أكثر مع 100 باب: تختار واحدًا (فرصته 1%)، ثم يفتح المقدم 98 بابًا فارغًا ويبقي بابًا واحدًا. التبديل إليه يعطيك 99%.
الشرط الحاسم
النتيجة تصح لأن المقدم يعرف مكان الجائزة ويختار الأبواب الفارغة عمدًا، فيعطيك معلومة جديدة. ولو فتح الأبواب عشوائيًا فصادف أنها فارغة، لتساوت فرص البابين المغلقين.
وسُمّيت المسألة باسم مقدم برنامج أمريكي، واشتهرت لأن كثيرًا من المتخصصين أخطؤوا فيها أول الأمر. وأسهل طريقة للاقتناع تجربتها مرارًا بثلاث أوراق مع صديق.
طريقة الاستخدام
- أدخل عدد الأبواب، 3 في المسألة الأصلية.
- أدخل عدد الأبواب الفارغة التي يفتحها المقدم، بحيث يبقى بابان مغلقان على الأقل.
- اضغط «احسب الاحتمال» لترى فرصة الفوز بالتبديل وبالبقاء، وكم مرة يفوق التبديل البقاء.
المعادلة المستخدمة
الفوز بالبقاء = 1 ÷ عدد الأبواب | الفوز بالتبديل = (الأبواب − 1) ÷ (الأبواب × (الأبواب − المفتوحة − 1))
أمثلة عملية
- مثال 1: 3 أبواب
- يفتح المقدم بابًا واحدًا: الفوز بالتبديل 66.67%، وبالبقاء 33.33%.
- مثال 2: 100 باب
- يفتح المقدم 98 بابًا: الفوز بالتبديل 99%، وبالبقاء 1%.
نصائح مهمة
- جرّب اللغز 20 مرة بثلاث أوراق وسجّل النتائج لتقتنع.
- تخيّل 100 باب حين يصعب عليك الحدس مع 3.
- تأكد أن المقدم يعرف مكان الجائزة، وإلا تغيرت الإجابة.
أخطاء شائعة يجب تجنّبها
- الظن أن البابين الباقيين متساويان لأن «بقي خياران».
- تجاهل أن المقدم يختار عن علم لا عشوائيًا.
- الاعتقاد أن البقاء على الاختيار الأول يحميك من «الخدعة».
الأسئلة الشائعة
- هل التبديل أفضل دائمًا؟
- نعم، ما دام المقدم يعرف مكان الجائزة ويفتح بابًا فارغًا في كل مرة.
- لماذا ليست الفرصة 50% لكل باب؟
- لأن فتح الباب لم يكن عشوائيًا، فهو يحمل معلومة عن الأبواب التي لم تخترها.
- ما علاقتها بالاحتمال الشرطي؟
- هي تطبيق مباشر عليه وعلى نظرية بايز: تحديث الاحتمال بعد معلومة جديدة.