دليل شامل للحاسبة
حاسبة مفارقة يوم الميلاد تحسب احتمال أن يتشارك شخصان على الأقل في مجموعة يوم الميلاد نفسه. ومع 23 شخصًا فقط يتجاوز الاحتمال النصف (50.73%)، ومع 70 شخصًا يصل إلى 99.9%. وتعرض الحاسبة عدد الأزواج الممكنة في مجموعتك، وأقل عدد يحقق احتمال 50%، وتصلح لأي عدد من الأيام أو الخيارات.
لماذا تفاجئنا؟
يفكر أغلبنا في احتمال أن يشاركنا شخص ما يوم ميلادنا نحن، وهو صغير فعلًا. لكن السؤال عن أي شخصين في المجموعة، وفي 23 شخصًا يمكن تكوين 253 زوجًا، وكل زوج فرصة للتطابق.
والحساب بالمتممة: احتمال أن تختلف أيام ميلاد الجميع = 365 ÷ 365 × 364 ÷ 365 × 363 ÷ 365 × … لكل شخص، وهو 49.27% لـ23 شخصًا، فاحتمال تطابق اثنين على الأقل 50.73%.
تطبيقات عملية
الفكرة نفسها تهم أمن المعلومات: احتمال تطابق «بصمتين» رقميتين عشوائيتين يصبح كبيرًا بعد عدد من البصمات يقارب الجذر التربيعي لعدد البصمات الممكنة، ولهذا تُصمم البصمات وأرقام التعريف العشوائية بطول كبير.
ويمكنك تغيير عدد الأيام لمسائل مشابهة: احتمال تكرار رقم في أرقام عشوائية من 1 إلى 100، أو تطابق آخر رقمين من جوالات مجموعة.
طريقة الاستخدام
- أدخل عدد الأشخاص في المجموعة.
- اترك عدد الأيام 365، أو غيّره لمسألة مشابهة بعدد خيارات آخر.
- اضغط «احسب الاحتمال» لترى احتمال التطابق، وعدد الأزواج، وأقل عدد يحقق 50%.
المعادلة المستخدمة
P(تطابق) = 1 − (365 × 364 × … × (365 − n + 1)) ÷ 365^n | عدد الأزواج = n × (n − 1) ÷ 2
أمثلة عملية
- مثال 1: 23 شخصًا
- احتمال التطابق 50.73%، وعدد الأزواج 253.
- مثال 2: فصل من 30 طالبًا
- احتمال أن يتشارك طالبان يوم الميلاد نحو 70.63%، فوجود تطابق في الفصل أرجح من عدمه.
نصائح مهمة
- جرّبها في فصل أو اجتماع من 30 شخصًا أو أكثر، والتطابق مرجّح.
- استعمل عدد الأيام لتطبيق الفكرة على أي اختيار عشوائي متكرر.
- تذكّر أن السؤال عن أي زوج، لا عنك أنت.
أخطاء شائعة يجب تجنّبها
- قسمة عدد الأشخاص على 365 لتقدير الاحتمال.
- الخلط بين «اثنان على الأقل يتشاركان» و«شخص يشاركني».
- نسيان أن الحساب يفترض تساوي احتمال كل الأيام.
الأسئلة الشائعة
- كم شخصًا يلزم لاحتمال 50%؟
- 23 شخصًا فقط.
- كم شخصًا يلزم ليكون التطابق مؤكدًا؟
- 366 شخصًا يضمنون التطابق تمامًا، لكن 70 يكفون لاحتمال 99.9%.
- ما احتمال أن يشاركني أحد يوم ميلادي في مجموعة من 23؟
- نحو 5.9% فقط، وهو سؤال مختلف عن المفارقة.