دليل شامل للحاسبة
حاسبة احتمال حادثتين تحسب، من احتمال كل حادثة مستقلة، احتمال وقوعهما معًا، واحتمال وقوع واحدة على الأقل، وواحدة فقط، وألا تقع أي منهما. فإذا كان احتمال نجاح طالب 0.8 وزميله 0.7، فاحتمال نجاحهما معًا 0.56، واحتمال نجاح واحد على الأقل 0.94. وتشرح الحاسبة الحساب خطوة بخطوة، وطريقة المتممة التي تختصره.
قوانين الاحتمال الأساسية
الاحتمال عدد بين 0 و1: الصفر حادثة مستحيلة، والواحد حادثة مؤكدة. واحتمال عدم وقوع الحادثة يساوي 1 ناقص احتمال وقوعها، ويسمى المتممة.
وللحادثتين المستقلتين، أي اللتين لا يغيّر وقوع إحداهما احتمال الأخرى، نضرب الاحتمالين لنحصل على احتمال وقوعهما معًا، ونكتبه P(A∩B): 0.8 × 0.7 = 0.56. أما احتمال وقوع إحداهما على الأقل، ونكتبه P(A∪B)، فنجمع الاحتمالين ونطرح احتمال وقوعهما معًا لأنه حُسب مرتين: 0.8 + 0.7 − 0.56 = 0.94.
طريقة المتممة
حين يُسأل عن «واحدة على الأقل» يكون الأسهل حساب احتمال ألا يقع شيء ثم طرحه من 1. ففي مثال الطالبين: احتمال رسوبهما معًا 0.2 × 0.3 = 0.06، فاحتمال نجاح واحد على الأقل 1 − 0.06 = 0.94، وهي النتيجة نفسها بخطوة أقصر.
وتزداد قيمة هذه الطريقة مع كثرة الحوادث، فهي أساس حساب موثوقية الأنظمة الاحتياطية ومفارقة يوم الميلاد.
طريقة الاستخدام
- أدخل احتمال الحادثة الأولى A بين 0 و1، مثل 0.8.
- أدخل احتمال الحادثة الثانية B بالطريقة نفسها.
- اضغط «احسب الاحتمالات» لترى احتمال وقوعهما معًا، وواحدة على الأقل، وواحدة فقط، وألا تقع أي منهما.
المعادلة المستخدمة
P(A∩B) = P(A) × P(B) | P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B) | P(لا شيء) = (1 − P(A)) × (1 − P(B))
أمثلة عملية
- مثال 1: نجاح طالبين
- احتمال نجاح الأول 0.8 والثاني 0.7: معًا 0.56، وواحد على الأقل 0.94، وواحد فقط 0.38، ولا أحد 0.06.
- مثال 2: عملة ومكعب أرقام
- احتمال ظهور الصورة 0.5، واحتمال ظهور الرقم 6 على مكعب الأرقام 1 ÷ 6: معًا نحو 0.0833، وواحدة على الأقل نحو 0.5833.
نصائح مهمة
- تأكد أن الحادثتين مستقلتان قبل ضرب احتماليهما.
- حوّل النسب المئوية إلى كسور عشرية: 80% تساوي 0.8.
- استعمل المتممة كلما رأيت عبارة «على الأقل».
أخطاء شائعة يجب تجنّبها
- جمع الاحتمالين لحساب «A أو B» دون طرح احتمال وقوعهما معًا، فقد يتجاوز الناتج 1.
- ضرب احتمالي حادثتين مرتبطتين كأنهما مستقلتان.
- الخلط بين «واحدة على الأقل» و«واحدة فقط».
الأسئلة الشائعة
- ما الحوادث المستقلة؟
- حوادث لا يغيّر وقوع إحداها احتمال الأخرى، كرمي عملتين أو نجاح طالبين يدرسان منفصلين.
- ما الفرق بين الحوادث المستقلة والمتنافية؟
- المتنافيتان لا يمكن أن تقعا معًا، كظهور الصورة والكتابة في رمية واحدة، فاحتمالهما معًا صفر، أما المستقلتان فقد تقعان معًا.
- كيف أحسب احتمال حادثتين غير مستقلتين؟
- استعمل الاحتمال الشرطي: P(A∩B) = P(A) × P(B|A)، وتجده في حاسبة الاحتمال الشرطي.