دليل شامل للحاسبة
حاسبة الاحتمال الشرطي تحسب احتمال وقوع A إذا علمنا أن B وقعت، أي P(A|B)، واحتمال B إذا وقعت A، وتختبر هل الحادثتان مستقلتان. فإذا كان 40% من الطلاب يدرسون الرياضيات و50% الفيزياء و15% المادتين معًا، فاحتمال أن يدرس طالب الرياضيات إذا علمنا أنه يدرس الفيزياء 0.15 ÷ 0.5 = 0.3.
معنى الاحتمال الشرطي
الاحتمال الشرطي، ونكتبه P(A|B)، يحصر النظر في جزء من الحالات: من بين الحالات التي وقعت فيها B، ما نسبة الحالات التي وقعت فيها A أيضًا؟ ولهذا نقسم احتمال وقوعهما معًا على احتمال B.
ففي مثال الطلاب: نصف الطلاب يدرسون الفيزياء، و15% يدرسون المادتين، فمن طلاب الفيزياء 0.15 ÷ 0.5 = 0.3 يدرسون الرياضيات أيضًا، أي أقل من نسبة دارسي الرياضيات بين كل الطلاب (0.4).
الاتجاه والاستقلال
P(A|B) لا يساوي P(B|A) عمومًا. ففي المثال P(B|A) = 0.15 ÷ 0.4 = 0.375. والخلط بينهما خطأ شائع خطير في الطب والقضاء: احتمال الإصابة إذا كان الفحص إيجابيًا ليس احتمال الفحص الإيجابي إذا كان الشخص مصابًا، ولقلب الاتجاه نستعمل نظرية بايز.
وتكون الحادثتان مستقلتين إذا كان P(A∩B) = P(A) × P(B)، وعندها P(A|B) = P(A): معرفة B لا تضيف شيئًا عن A.
طريقة الاستخدام
- أدخل احتمال A واحتمال B، كل منهما بين 0 و1.
- أدخل احتمال وقوعهما معًا P(A∩B)، ولا يزيد على أي منهما.
- اضغط «احسب الاحتمال» لترى P(A|B) وP(B|A) وهل الحادثتان مستقلتان.
المعادلة المستخدمة
P(A|B) = P(A∩B) ÷ P(B) | P(B|A) = P(A∩B) ÷ P(A) | مستقلتان إذا P(A∩B) = P(A) × P(B)
أمثلة عملية
- مثال 1: الرياضيات والفيزياء
- P(A) = 0.4 وP(B) = 0.5 وP(A∩B) = 0.15: P(A|B) = 0.3 وP(B|A) = 0.375، والحادثتان غير مستقلتين لأن 0.4 × 0.5 = 0.2 لا 0.15.
- مثال 2: حادثتان مستقلتان
- P(A) = 0.3 وP(B) = 0.5 وP(A∩B) = 0.15: P(A|B) = 0.3 = P(A)، فالحادثتان مستقلتان.
نصائح مهمة
- ارسم جدولًا أو شكل فن للحالات قبل الحساب، فهو يوضح ما تقسمه على ماذا.
- اكتب الشرط دائمًا بعد الخط العمودي: P(ما نسأل عنه | ما نعرفه).
- قارن P(A|B) بـP(A) لتعرف هل B ترفع احتمال A أم تخفضه.
أخطاء شائعة يجب تجنّبها
- قلب الاتجاه وعدّ P(A|B) مساويًا لـP(B|A).
- القسمة على P(A) بدل P(B) عند حساب P(A|B).
- إدخال احتمال مشترك أكبر من أحد الاحتمالين، وهذا مستحيل.
الأسئلة الشائعة
- ما معنى الرمز P(A|B)؟
- احتمال وقوع A بشرط أن B وقعت، ويُقرأ «احتمال A إذا علمنا B».
- كيف أعرف أن حادثتين مستقلتان؟
- إذا كان احتمال وقوعهما معًا يساوي حاصل ضرب احتماليهما، أو إذا كان P(A|B) = P(A).
- ما علاقته بنظرية بايز؟
- نظرية بايز تحسب P(A|B) حين نعرف P(B|A) واحتمال A، أي تقلب اتجاه الاحتمال الشرطي.