دليل شامل للحاسبة
حاسبة نظرية بايز تحدّث احتمال فرضية بعد ظهور دليل: تدخل الاحتمال السابق للفرضية، واحتمال ظهور الدليل إن كانت صحيحة، واحتماله إن كانت خاطئة، فتحسب الاحتمال اللاحق. فلمرض نسبته 1% وفحص يكشفه بنسبة 95% ويخطئ في 5% من الأصحاء، يكون احتمال الإصابة بعد فحص إيجابي نحو 16% فقط. وتشرح الحاسبة النتيجة بتخيّل 1,000 حالة.
الفكرة
نظرية بايز تجيب عن سؤال: كم يجب أن نغيّر قناعتنا بعد رؤية دليل؟ نبدأ باحتمال سابق للفرضية، ثم ننظر كم مرة يظهر الدليل حين تكون صحيحة مقارنة بحين تكون خاطئة. فالدليل الذي يظهر كثيرًا مع الفرضية ونادرًا دونها يرفع احتمالها كثيرًا.
ونرمز لعدم صحة الفرضية بـA′. والحساب على خطوتين: نجد احتمال ظهور الدليل كليًا، P(B) = P(B|A) × P(A) + P(B|A′) × P(A′)، ثم نقسم نصيب الفرضية منه عليه: P(A|B) = P(B|A) × P(A) ÷ P(B).
لماذا يفاجئنا الناتج؟
في مثال الفحص: من كل 1,000 شخص، 10 مصابون يكشف الفحص 9.5 منهم، و990 سليمًا تظهر نتيجة إيجابية خاطئة لـ49.5 منهم. فمن 59 نتيجة إيجابية، الصحيحة 9.5 فقط، أي 16.1%. فالأخطاء القليلة في العدد الكبير من الأصحاء تغلب الإصابات الحقيقية في العدد القليل من المرضى.
وهذا ما يسمى إهمال المعدل الأساسي: نركز على دقة الدليل وننسى ندرة الفرضية. والعلاج إعادة الفحص: احتمال 16.1% يصير سابقًا جديدًا، وفحص ثانٍ إيجابي يرفعه إلى نحو 78%.
طريقة الاستخدام
- أدخل الاحتمال السابق للفرضية P(A) بين 0 و1، مثل انتشار المرض 0.01.
- أدخل احتمال ظهور الدليل إن كانت الفرضية صحيحة P(B|A)، واحتمال ظهوره إن كانت خاطئة P(B|A′).
- اضغط «احسب» لترى الاحتمال اللاحق P(A|B) واحتمال ظهور الدليل والاحتمال إذا لم يظهر.
المعادلة المستخدمة
P(A|B) = P(B|A) × P(A) ÷ [P(B|A) × P(A) + P(B|A′) × (1 − P(A))]
أمثلة عملية
- مثال 1: فحص لمرض نسبته 1%
- P(A) = 0.01 وP(B|A) = 0.95 وP(B|A′) = 0.05: P(B) = 0.059، والاحتمال اللاحق 0.0095 ÷ 0.059 ≈ 0.161.
- مثال 2: فلتر رسائل مزعجة
- 30% من الرسائل مزعجة، وكلمة معينة تظهر في 80% منها وفي 10% من الرسائل السليمة: احتمال أن تكون الرسالة مزعجة إذا ظهرت الكلمة 0.24 ÷ 0.31 ≈ 0.774.
نصائح مهمة
- لا تحكم بدقة الدليل وحدها؛ ابدأ دائمًا من الاحتمال السابق.
- إذا تكرر الدليل بشكل مستقل، فاجعل الاحتمال اللاحق سابقًا جديدًا وأعد الحساب.
- تخيّل 1,000 أو 10,000 حالة لتفهم النتيجة بالأعداد بدل النسب.
أخطاء شائعة يجب تجنّبها
- إهمال الاحتمال السابق والظن أن فحصًا دقيقًا بنسبة 95% يعني احتمال إصابة 95%.
- الخلط بين P(B|A) وP(A|B).
- استعمال P(B|A′) على أنه 1 − P(B|A)، وهما مختلفان.
الأسئلة الشائعة
- ما الاحتمال السابق واللاحق؟
- السابق تقديرك قبل رؤية الدليل، واللاحق تقديرك بعد أخذه في الحساب.
- أين تُستعمل نظرية بايز؟
- في التشخيص الطبي، وفلاتر الرسائل المزعجة، وتعلّم الآلة، وتقييم الأدلة، وكل تحديث للقناعات بالبيانات.
- لماذا احتمال الإصابة منخفض رغم دقة الفحص؟
- لأن المرض نادر، فعدد الإيجابيات الكاذبة بين الأصحاء الكثيرين يفوق الإيجابيات الحقيقية بين المرضى القليلين.