دليل شامل للحاسبة
التوافيق عدد الطرق التي تختار بها r عنصرًا من n حين لا يهم الترتيب ولا يتكرر العنصر: C(n, r) = n! ÷ (r! × (n − r)!). اختيار لجنة من 3 أعضاء بين 10 أشخاص ممكن بـ120 طريقة. أدخل n وr، وتظهر النتيجة بدقة كاملة حتى للأعداد الضخمة.
من التباديل إلى التوافيق
ابدأ بالتباديل: ترتيب 3 أشخاص من 10 ممكن بـ10 × 9 × 8 = 720 طريقة. لكن في اللجنة لا يهم الترتيب، فالمجموعة (أحمد، سارة، خالد) هي نفسها (خالد، أحمد، سارة). وكل مجموعة من ثلاثة تظهر في التباديل 3! = 6 مرات بترتيبات مختلفة.
فلنحصل على عدد المجموعات المختلفة نقسم على 6: 720 ÷ 6 = 120. وهذا هو القانون: C(n, r) = P(n, r) ÷ r!.
خاصية التماثل
اختيار r عنصرًا للأخذ هو نفسه اختيار n − r عنصرًا للترك. فعدد طرق اختيار 11 لاعبًا من 15 يساوي عدد طرق اختيار 4 لاعبين يجلسون على الدكة: C(15، 11) = C(15، 4) = 1,365.
وهذه الخاصية تسهّل الحساب اليدوي: احسب دائمًا بالعدد الأصغر من r وn − r. ومن نتائجها أن C(n، 0) = C(n، n) = 1: هناك طريقة واحدة لعدم اختيار أي شيء، وطريقة واحدة لاختيار الكل.
مثلث باسكال والاحتمالات
أعداد التوافيق هي نفسها أعداد مثلث باسكال، حيث كل عدد مجموع العددين فوقه. الصف الخامس من المثلث، مثلًا، هو 1، 4، 6، 4، 1، وهي C(4، 0) حتى C(4، 4).
وفي الاحتمالات تستخدم التوافيق لحساب فرص الأحداث: إن اختيرت لجنة من 3 بين 10 أشخاص عشوائيًا، فاحتمال أن تكون لجنة بعينها هو 1 من 120. وإن كنت أحد العشرة فاحتمال أن تكون في اللجنة 3 من 10، أي 30%.
حين يُسمح بالتكرار
الحاسبة تحسب التوافيق دون تكرار. أما إن جاز اختيار العنصر نفسه أكثر من مرة، كاختيار 3 مغرفات آيس كريم من 5 نكهات مع جواز تكرار النكهة، فالقانون C(n + r − 1، r). في هذا المثال C(7، 3) = 35، ويمكنك حسابه بإدخال n = 7 وr = 3.
طريقة الاستخدام
- 01أدخل n، وهو العدد الكلي للعناصر المتاحة.
- 02أدخل r، وهو عدد العناصر التي ستختارها، بحيث 0 ≤ r ≤ n.
- 03تظهر النتيجة فورًا كعدد صحيح كامل مهما كبر.
- 04إن كان الترتيب يهم فاستخدم حاسبة التباديل.
المعادلة المستخدمة
C(n, r) = n! ÷ (r! × (n − r)!) = P(n, r) ÷ r!أمثلة عملية
مثال 1: اختيار لجنة
3 أعضاء من 10 أشخاص: C(10، 3) = 720 ÷ 6 = 120 لجنة ممكنة.
مثال 2: عدد المصافحات
12 شخصًا يصافح كل منهم الآخرين مرة واحدة. كل مصافحة اختيار لشخصين دون ترتيب: C(12، 2) = 66 مصافحة.
مثال 3: تشكيلة فريق
اختيار 11 لاعبًا أساسيًا من 15: C(15، 11) = 1,365 تشكيلة، وهو العدد نفسه لاختيار 4 احتياطيين.
نصائح مهمة
- اسأل نفسك: لو بدّلت ترتيب المختارين، هل تتغير النتيجة؟ إن لم تتغير فهي توافيق.
- للحساب اليدوي استخدم الأصغر بين r وn − r لتقليل الضرب.
- عدد المصافحات أو المباريات بين كل فريقين مرة واحدة هو دائمًا C(n، 2) = n × (n − 1) ÷ 2.
أخطاء شائعة يجب تجنّبها
- استخدام التوافيق لمسألة يهم فيها الترتيب، كالمراكز والمناصب.
- نسيان القسمة على r! عند التحويل من التباديل.
- تطبيق القانون على مسألة يُسمح فيها بالتكرار.
الأسئلة الشائعة
- ما الفرق بين التوافيق والتباديل؟
- في التوافيق لا يهم الترتيب، وفي التباديل يهم. اختيار عضوين في لجنة توافيق، واختيار رئيس ونائب تباديل.
- كيف أحسب التوافيق يدويًا؟
- احسب التباديل ثم اقسم على r!. لـC(8، 3): (8 × 7 × 6) ÷ (3 × 2 × 1) = 336 ÷ 6 = 56.
- لماذا يتساوى C(10، 3) وC(10، 7)؟
- لأن اختيار 3 للأخذ هو نفسه اختيار 7 للترك. كل اختيار يقابله تمامًا اختيار للباقي.
- كيف أحسب عدد المصافحات بين مجموعة؟
- كل مصافحة زوج من الأشخاص بلا ترتيب، فالعدد C(n، 2) = n × (n − 1) ÷ 2. لعشرين شخصًا: 190 مصافحة.
- كيف أحسب التوافيق مع التكرار؟
- استخدم C(n + r − 1، r). لاختيار 3 من 5 أنواع مع جواز التكرار: C(7، 3) = 35.
- ما علاقة التوافيق بمثلث باسكال؟
- عناصر الصف n في مثلث باسكال هي C(n، 0) حتى C(n، n)، وكل عدد فيه مجموع العددين فوقه.