دليل شامل للحاسبة
التباديل عدد الطرق التي تختار بها r عنصرًا من n وترتبها، حين يكون الترتيب مهمًا ولا يتكرر العنصر: P(n, r) = n! ÷ (n − r)!. ترتيب المراكز الثلاثة الأولى بين 10 متسابقين ممكن بـ10 × 9 × 8 = 720 طريقة. أدخل n وr، وتظهر النتيجة بدقة كاملة حتى للأعداد الضخمة.
كيف يُحسب عدد التباديل
فكّر في الاختيار خانة بعد خانة. للمركز الأول 10 خيارات، وبعد شغله تبقى 9 خيارات للمركز الثاني، ثم 8 للثالث. والعدد الكلي حاصل الضرب: 10 × 9 × 8 = 720. وهذا هو مبدأ العد الأساسي.
والقانون P(n, r) = n! ÷ (n − r)! اختصار لهذا الضرب. والمضروب n! حاصل ضرب كل الأعداد من 1 إلى n: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. وفي المثال 10! ÷ 7! = 10 × 9 × 8، لأن بقية العوامل تختصر.
وحين تختار كل العناصر، أي r = n، يكون العدد n! نفسه: خمسة كتب على رف تُرتب بـ5! = 120 طريقة. ومن تعريف المضروب أن 0! = 1.
التباديل أم التوافيق؟
السؤال الذي يحسم الأمر: هل يغيّر تبديل الترتيب النتيجة؟ في السباق، فوز أحمد بالأول وخالد بالثاني يختلف عن العكس، فالترتيب مهم وهذه تباديل. أما في اختيار ثلاثة أعضاء للجنة، فاللجنة نفسها مهما كان ترتيب الأسماء، وهذه توافيق.
ولهذا يكون عدد التباديل دائمًا أكبر أو مساويًا لعدد التوافيق للأعداد نفسها: كل مجموعة من r عنصرًا يمكن ترتيبها بـr! طريقة. فـP(10، 3) = 720 بينما C(10، 3) = 120، والفرق ضرب في 3! = 6.
حين يُسمح بالتكرار
الحاسبة تحسب التباديل دون تكرار، أي أن العنصر الواحد لا يُستخدم مرتين. أما إن جاز التكرار، كرمز سري من 4 أرقام يمكن أن تتكرر فيه الأرقام، فالعدد nʳ: 10⁴ = 10,000 رمز.
وإن كانت العناصر نفسها فيها تكرار، كترتيب حروف كلمة فيها حرف مكرر، فاقسم n! على مضروب عدد مرات كل تكرار. كلمة «ممتاز» فيها 5 حروف والميم مكررة مرتين، فعدد ترتيباتها المختلفة 5! ÷ 2! = 60.
طريقة الاستخدام
- 01أدخل n، وهو العدد الكلي للعناصر المتاحة.
- 02أدخل r، وهو عدد العناصر التي ستختارها وترتبها، بحيث 0 ≤ r ≤ n.
- 03تظهر النتيجة فورًا كعدد صحيح كامل، حتى لو كانت عشرات الخانات.
- 04إن كان الترتيب لا يهم فاستخدم حاسبة التوافيق بدلًا منها.
المعادلة المستخدمة
P(n, r) = n! ÷ (n − r)! = n × (n − 1) × … × (n − r + 1)أمثلة عملية
مثال 1: مراكز سباق
10 متسابقين وثلاثة مراكز: P(10، 3) = 10 × 9 × 8 = 720 ترتيبًا ممكنًا.
مثال 2: رمز من أرقام مختلفة
رمز من 4 أرقام لا يتكرر فيها رقم، من الأرقام 0 إلى 9: P(10، 4) = 10 × 9 × 8 × 7 = 5,040 رمزًا.
مثال 3: ترتيب كتب على رف
5 كتب مختلفة على رف واحد: P(5، 5) = 5! = 120 ترتيبًا.
نصائح مهمة
- اسأل نفسك أولًا: هل يهم الترتيب؟ إن كان الجواب نعم فهي تباديل.
- للأعداد الصغيرة احسب يدويًا بضرب r عددًا تنازليًا يبدأ من n، فهو أسرع من حساب المضروبات كاملة.
- الحاسبة تعطي الناتج كاملًا بلا تقريب حتى n = 1,000، وهو مفيد لمسائل الاحتمالات الكبيرة.
أخطاء شائعة يجب تجنّبها
- استخدام التباديل لمسألة لا يهم فيها الترتيب، فيخرج العدد أكبر من الصحيح.
- نسيان أن التكرار غير مسموح في هذا القانون.
- حساب n! ÷ r! بدل n! ÷ (n − r)!.
الأسئلة الشائعة
- ما الفرق بين التباديل والتوافيق؟
- في التباديل يهم الترتيب، وفي التوافيق لا يهم. اختيار رئيس ونائب تباديل، واختيار عضوين في لجنة توافيق.
- كيف أحسب التباديل؟
- اضرب r عددًا تنازليًا تبدأ من n. لـP(8، 3): 8 × 7 × 6 = 336.
- كيف أحسب التباديل مع التكرار؟
- إن جاز استخدام العنصر أكثر من مرة فالعدد nʳ. رمز من 4 خانات من 10 أرقام مع التكرار: 10⁴ = 10,000.
- كم تساوي 0!؟
- تساوي 1 بالتعريف، وهو ما يجعل القانون صحيحًا حين r = n: P(n، n) = n! ÷ 0! = n!.
- كيف أحسب ترتيبات حروف كلمة فيها حروف مكررة؟
- اقسم مضروب عدد الحروف على مضروب عدد مرات تكرار كل حرف. «ممتاز»: 5! ÷ 2! = 60.
- لماذا الحد الأقصى 1,000 عنصر؟
- لأن الأعداد الناتجة تصبح ضخمة جدًا بآلاف الخانات، والحد يحافظ على سرعة الحاسبة دون أن يمس المسائل العملية.