دليل شامل للحاسبة
نظرية فيثاغورس تقول إن مربع الوتر في المثلث القائم يساوي مجموع مربعي الضلعين القائمين: أ² + ب² = جـ². مثلث ضلعاه القائمان 3 و4 طول وتره 5، لأن 9 + 16 = 25. أدخل الضلعين بأي وحدة، وتظهر الوتر فورًا بالوحدة التي تختارها.
نص النظرية ومعناها
في المثلث القائم الزاوية ضلعان يلتقيان في الزاوية القائمة ويسمّيان الضلعين القائمين، وضلع ثالث يقابل الزاوية القائمة وهو الأطول ويسمّى الوتر. النظرية تربط الثلاثة: أ² + ب² = جـ².
ولإيجاد الوتر خذ الجذر التربيعي للمجموع: جـ = √(أ² + ب²). لضلعين 6 و8: 36 + 64 = 100، والجذر 10. والنظرية لا تصح إلا في المثلث القائم الزاوية؛ للمثلثات الأخرى يُستخدم قانون جيب التمام.
إيجاد ضلع قائم بدل الوتر
الحاسبة تحسب الوتر من الضلعين القائمين. وإن كنت تعرف الوتر وضلعًا واحدًا، فاقلب القانون: الضلع المجهول = √(جـ² − أ²).
مثال: سلّم طوله 5 أمتار، وقاعدته على بعد 1.4 متر من الجدار. الارتفاع الذي يصله = √(25 − 1.96) = √23.04 = 4.8 متر.
طريقة 3-4-5 في البناء
البنّاؤون يستخدمون النظرية لضبط الزوايا القائمة دون أي أداة خاصة. علّم 3 وحدات على أحد الخطين و4 وحدات على الآخر من نقطة الزاوية، ثم قِس بين العلامتين: إن كانت المسافة 5 وحدات بالضبط فالزاوية قائمة.
ولزاوية في مساحة كبيرة كأساسات غرفة استخدم مضاعفات أكبر لتقليل الخطأ: 60 و80 و100 سم، أو 3 و4 و5 أمتار. وأي نسبة تحقق النظرية تصلح.
ثلاثيات فيثاغورس
ثلاثيات فيثاغورس أعداد صحيحة تحقق النظرية تمامًا، ويفيد حفظها في حل المسائل بسرعة: (3، 4، 5)، (5، 12، 13)، (8، 15، 17)، (7، 24، 25)، (20، 21، 29).
وكل مضاعف لثلاثية هو ثلاثية أيضًا: (6، 8، 10) و(9، 12، 15) مضاعفات لـ(3، 4، 5). فإن رأيت ضلعين بنسبة 3 إلى 4، فالوتر بنسبة 5 دون أي حساب.
طريقة الاستخدام
- 01أدخل طول الضلع القائم الأول واختر وحدته.
- 02أدخل طول الضلع القائم الثاني واختر وحدته، ويمكن أن تختلف عن الأولى.
- 03اختر الوحدة التي تريد بها طول الوتر.
- 04يظهر الوتر فورًا، ولإيجاد ضلع قائم استخدم القانون المعكوس المشروح أعلاه.
المعادلة المستخدمة
جـ = √(أ² + ب²) | ضلع قائم = √(جـ² − أ²)أمثلة عملية
مثال 1: المثلث الشهير
ضلعان قائمان 3 و4: الوتر = √(9 + 16) = √25 = 5.
مثال 2: طول السلم المطلوب
تريد الوصول إلى ارتفاع 4 أمتار، وقاعدة السلم على بعد 1.5 متر من الجدار. طول السلم = √(16 + 2.25) = √18.25 = 4.27 متر.
مثال 3: مقاس الشاشة بالبوصة
شاشة عرضها 121.8 سم وارتفاعها 68.5 سم: القطر = √(121.8² + 68.5²) = 139.74 سم. اختر الإنش وحدةً للنتيجة فيظهر 55 بوصة تقريبًا، وهو مقاس الشاشة المعلن.
نصائح مهمة
- الوتر دائمًا أطول ضلع في المثلث القائم. إن خرج أقصر من أحد الضلعين فهناك خطأ في الإدخال.
- مقاس الشاشات والجوالات يُقاس على القطر لا العرض، وهو تطبيق مباشر لهذه النظرية.
- للتحقق من أن غرفة مستطيلة قائمة الزوايا، قِس قطريها: إن تساويا فالزوايا قائمة.
أخطاء شائعة يجب تجنّبها
- جمع الضلعين ثم التربيع، والصحيح تربيع كل ضلع ثم الجمع.
- نسيان أخذ الجذر التربيعي في الخطوة الأخيرة، فيظهر مربع الوتر لا الوتر.
- تطبيق النظرية على مثلث ليس قائم الزاوية.
الأسئلة الشائعة
- ما نص نظرية فيثاغورس؟
- في المثلث القائم الزاوية، مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين القائمين: أ² + ب² = جـ².
- كيف أحسب طول الوتر؟
- ربّع كل ضلع قائم، واجمع الناتجين، ثم خذ الجذر التربيعي. لضلعين 5 و12: 25 + 144 = 169، والجذر 13.
- كيف أحسب ضلعًا قائمًا إذا عرفت الوتر؟
- اطرح مربع الضلع المعلوم من مربع الوتر، ثم خذ الجذر. لوتر 13 وضلع 5: √(169 − 25) = 12.
- ما هي ثلاثيات فيثاغورس؟
- أعداد صحيحة تحقق النظرية مثل (3، 4، 5) و(5، 12، 13) و(8، 15، 17)، وكل مضاعفاتها ثلاثيات أيضًا.
- هل تنطبق النظرية على أي مثلث؟
- لا، على المثلث القائم الزاوية فقط. للمثلثات الأخرى استخدم قانون جيب التمام.
- كيف أعرف مقاس الشاشة من عرضها وارتفاعها؟
- أدخل العرض والارتفاع ضلعين قائمين، واختر الإنش وحدةً للنتيجة. القطر الناتج هو مقاس الشاشة.