دليل شامل للحاسبة
المسافة بين نقطتين في المستوى الإحداثي تساوي الجذر التربيعي لمجموع مربعي فرق السينات وفرق الصادات: ف = √((س٢ − س١)² + (ص٢ − ص١)²). المسافة بين (0، 0) و(3، 4) تساوي 5، ونقطة المنتصف بينهما (1.5، 2). أدخل إحداثيات النقطتين، وتظهر المسافة ونقطة المنتصف فورًا.
قانون المسافة من فيثاغورس
ارسم خطًا أفقيًا من النقطة الأولى وخطًا رأسيًا من الثانية، فيلتقيان ليكوّنا مثلثًا قائم الزاوية. ضلعه الأفقي فرق السينات، وضلعه الرأسي فرق الصادات، ووتره هو المسافة بين النقطتين. ولهذا قانون المسافة نظرية فيثاغورس مكتوبة بالإحداثيات.
للنقطتين (−1، 2) و(5، −6): فرق السينات 6 وفرق الصادات −8. والمربعان 36 و64، ومجموعهما 100، والجذر 10. ولأن الفرقين يُربّعان، فإشارتهما وترتيب النقطتين لا يغيّران المسافة.
نقطة المنتصف
نقطة المنتصف تقع على منتصف القطعة المستقيمة بين النقطتين، وإحداثياها متوسط السينين ومتوسط الصادين: (س١ + س٢) ÷ 2، (ص١ + ص٢) ÷ 2. للنقطتين (2، 1) و(7، 13): المنتصف (4.5، 7).
وتستخدم نقطة المنتصف لإيجاد مركز دائرة من طرفي قطرها، أو لتقسيم مسافة إلى نصفين متساويين.
حدود الاستخدام
هذا القانون للمستوى المسطح بإحداثيات س وص. وفي الفضاء الثلاثي يضاف فرق الإحداثي الثالث: ف = √(Δس² + Δص² + Δع²).
ولا يصلح لحساب المسافة بين مدينتين من خطوط الطول والعرض، لأن سطح الأرض كروي والدرجات ليست وحدات طول متساوية. لذلك تحتاج قانونًا كرويًا خاصًا. والمسافة الناتجة هنا مستقيمة دائمًا، أي «خط النظر»، وهي أقصر من أي طريق فعلي بين النقطتين.
طريقة الاستخدام
- 01أدخل إحداثيي النقطة الأولى: س١ وص١.
- 02أدخل إحداثيي النقطة الثانية: س٢ وص٢. القيم السالبة مقبولة.
- 03تظهر المسافة وإحداثيا نقطة المنتصف فورًا.
- 04إن كانت الإحداثيات بوحدة طول كالمتر، فالمسافة بالوحدة نفسها.
المعادلة المستخدمة
ف = √((س٢ − س١)² + (ص٢ − ص١)²) | المنتصف = ((س١ + س٢) ÷ 2، (ص١ + ص٢) ÷ 2)أمثلة عملية
مثال 1: المثلث 3-4-5
النقطتان (0، 0) و(3، 4): المسافة √(9 + 16) = 5، والمنتصف (1.5، 2).
مثال 2: إحداثيات سالبة
النقطتان (−1، 2) و(5، −6): المسافة √(36 + 64) = 10، والمنتصف (2، −2).
مثال 3: نقطتان على مخطط
على مخطط بالأمتار، نقطتان (2، 1) و(7، 13): المسافة √(25 + 144) = 13 مترًا، والمنتصف (4.5، 7).
نصائح مهمة
- للتحقق السريع: المسافة لا تقل أبدًا عن أكبر الفرقين، ولا تزيد على مجموعهما.
- إن كانت النقطتان على خط أفقي أو رأسي، فالمسافة هي الفرق المطلق مباشرة.
- لإيجاد مركز دائرة من طرفي قطرها، استخدم نقطة المنتصف.
أخطاء شائعة يجب تجنّبها
- جمع الفرقين دون تربيع ثم أخذ الجذر.
- نسيان الجذر التربيعي في النهاية.
- استخدام القانون مع خطوط الطول والعرض الجغرافية.
الأسئلة الشائعة
- ما قانون المسافة بين نقطتين؟
- ف = √((س٢ − س١)² + (ص٢ − ص١)²)، وهو تطبيق لنظرية فيثاغورس على الإحداثيات.
- كيف أحسب نقطة المنتصف؟
- خذ متوسط السينين ومتوسط الصادين: ((س١ + س٢) ÷ 2، (ص١ + ص٢) ÷ 2).
- هل يهم ترتيب النقطتين؟
- لا، لأن الفرقين يُربّعان فتختفي الإشارة. والمنتصف لا يتأثر بالترتيب أيضًا.
- كيف أحسب المسافة في ثلاثة أبعاد؟
- أضف مربع فرق الإحداثي الثالث تحت الجذر: ف = √(Δس² + Δص² + Δع²).
- هل أستخدمها للمسافة بين مدينتين؟
- لا، فخطوط الطول والعرض على سطح كروي. استخدم قانونًا للمسافات الكروية أو خدمة خرائط.