دليل شامل للحاسبة
اللوغاريتم يجيب عن سؤال: إلى أي قوة نرفع الأساس لنحصل على العدد؟ لو₁₀(1,000) = 3 لأن 10³ = 1,000، ولو₂(1,024) = 10 لأن 2¹⁰ = 1,024. أدخل العدد والأساس، سواء كان 10 أو 2 أو e أو أي أساس موجب غير الواحد، وتظهر النتيجة فورًا.
اللوغاريتم عكس الأس
الجملتان «لو_ب(س) = ص» و«ب^ص = س» تقولان الشيء نفسه بطريقتين. الأس يسألك: كم يساوي 2 مرفوعًا للقوة 10؟ واللوغاريتم يسألك السؤال المعاكس: إلى أي قوة نرفع 2 لنحصل على 1,024؟ والجواب في الحالتين مرتبط بالعددين نفسيهما.
ولهذا يُستخدم اللوغاريتم لحل أي معادلة يكون المجهول فيها في الأس، مثل: بعد كم سنة يتضاعف المبلغ إذا نما 7% سنويًا؟
log وln وتغيير الأساس
اللوغاريتم العشري أساسه 10، ويُكتب غالبًا log دون ذكر الأساس، وهو المستخدم في الحاسبات العلمية والكيمياء. واللوغاريتم الطبيعي أساسه العدد e ≈ 2.71828، ويُكتب ln، وهو الأشهر في الرياضيات العليا والفيزياء والاقتصاد.
وأي لوغاريتم يمكن حسابه من أي أساس آخر بقانون تغيير الأساس: لو_ب(س) = ln(س) ÷ ln(ب). وهذا ما تفعله الحاسبة، ولذلك تقبل أي أساس موجب ما عدا 1.
ولحساب ln في الحاسبة أدخل الأساس 2.718281828 تقريبًا. ln(20) = 2.9957.
قوانين اللوغاريتمات
لوغاريتم حاصل الضرب يساوي مجموع اللوغاريتمين: لو(أ × ب) = لو(أ) + لو(ب). ولوغاريتم القسمة يساوي الفرق: لو(أ ÷ ب) = لو(أ) − لو(ب). ولوغاريتم القوة يُنزل الأس معاملًا: لو(أⁿ) = ن × لو(أ).
ومن القوانين الأساسية أيضًا: لو_ب(1) = 0 لأي أساس، ولو_ب(ب) = 1. ولا يوجد لوغاريتم حقيقي للصفر أو للأعداد السالبة، لأن رفع أساس موجب لأي قوة يعطي دائمًا عددًا موجبًا.
أين تقابل اللوغاريتم
في الكيمياء، الرقم الهيدروجيني pH هو سالب اللوغاريتم العشري لتركيز أيونات الهيدروجين: تركيز 10⁻⁷ مول/لتر يعطي pH = 7، وهو الماء المتعادل. وفي الصوت تُقاس الشدة بالديسيبل على مقياس لوغاريتمي، وكذلك قوة الزلازل.
وفي المال يحسب اللوغاريتم مدة التضاعف: مبلغ ينمو 7% سنويًا يتضاعف بعد لو₁.₀₇(2) = 10.24 سنة. وقاعدة 72 الشهيرة تقريب لهذا الحساب: 72 ÷ 7 = 10.3 سنة.
وفي الحوسبة، لو₂ يخبرك كم بتًا تحتاج لتمثيل عدد معين من الاحتمالات: 1,024 احتمالًا تحتاج 10 بتات.
طريقة الاستخدام
- 01أدخل العدد الذي تريد لوغاريتمه، ويجب أن يكون موجبًا.
- 02أدخل الأساس: 10 للعشري، أو 2، أو 2.718281828 للطبيعي ln، أو أي أساس موجب غير 1.
- 03تظهر النتيجة فورًا، وهي القوة التي يُرفع إليها الأساس ليعطي العدد.
المعادلة المستخدمة
لو_ب(س) = ص ⟺ ب^ص = س | لو_ب(س) = ln(س) ÷ ln(ب)أمثلة عملية
مثال 1: لوغاريتم عشري
لو₁₀(1,000) = 3، لأن 10 × 10 × 10 = 1,000.
مثال 2: لوغاريتم بأساس 2
لو₂(1,024) = 10، لأن 2¹⁰ = 1,024. أي أن 1,024 احتمالًا تُمثَّل بعشرة بتات.
مثال 3: مدة تضاعف المال
مبلغ ينمو 7% سنويًا: أدخل العدد 2 والأساس 1.07، فالنتيجة 10.24 سنة حتى يتضاعف.
نصائح مهمة
- إن كانت النتيجة سالبة فالعدد أصغر من 1 والأساس أكبر من 1: لو₁₀(0.01) = −2.
- لحساب pH أدخل التركيز عددًا والأساس 10، ثم غيّر إشارة النتيجة.
- للتحقق من أي نتيجة، ارفع الأساس لها في حاسبة الأسس، يجب أن تعود إلى العدد.
أخطاء شائعة يجب تجنّبها
- محاولة حساب لوغاريتم الصفر أو عدد سالب.
- استخدام 1 أساسًا، فرفع 1 لأي قوة يبقى 1.
- الخلط بين log وln، فالأول أساسه 10 والثاني أساسه e.
الأسئلة الشائعة
- ما هو اللوغاريتم ببساطة؟
- هو الأس الذي نرفع إليه الأساس لنحصل على العدد. لو₁₀(100) = 2 لأن 10² = 100.
- ما الفرق بين log وln؟
- log يقصد به عادة اللوغاريتم العشري بأساس 10، وln اللوغاريتم الطبيعي بأساس e ≈ 2.71828.
- كيف أحسب اللوغاريتم بأساس 2؟
- أدخل العدد وأدخل 2 أساسًا. أو احسبه يدويًا: لو₂(س) = ln(س) ÷ ln(2).
- لماذا لا يوجد لوغاريتم لعدد سالب؟
- لأن رفع أساس موجب لأي قوة حقيقية يعطي دائمًا عددًا موجبًا، فلا توجد قوة تعطي صفرًا أو عددًا سالبًا.
- ما قانون تغيير الأساس؟
- لو_ب(س) = لو_ج(س) ÷ لو_ج(ب) لأي أساس ج، والشائع استخدام ln أو log العشري.
- كيف أحسب عدد السنوات حتى يتضاعف المال؟
- احسب لوغاريتم 2 بأساس (1 + النسبة). عند 7% أدخل 2 والأساس 1.07، فالنتيجة 10.24 سنة.