دليل شامل للحاسبة
المتتابعة الهندسية سلسلة أعداد يُضرب فيها كل حد في نسبة ثابتة ليعطي الحد التالي، مثل 2، 4، 8، 16. حدها النوني = الحد الأول × النسبة^(ن − 1)، ومجموع أول ن حدًا = الحد الأول × (1 − النسبةⁿ) ÷ (1 − النسبة). في المتتابعة 2، 4، 8 الحد العاشر 1,024 ومجموع الحدود العشرة 2,046.
الحد النوني والنسبة المشتركة
النسبة المشتركة هي ما يُضرب فيه كل حد، وتجدها بقسمة أي حد على الحد الذي قبله: 8 ÷ 4 = 2. ومن الحد الأول إلى العاشر تضرب في النسبة تسع مرات، ولذلك يكون الأس ن − 1: ح١٠ = 2 × 2⁹ = 1,024.
إن كانت النسبة أكبر من 1 تكبر الحدود بسرعة، وإن كانت بين 0 و1 تصغر نحو الصفر، وإن كانت سالبة تتناوب الإشارات: 3، −6، 12، −24، 48.
مجموع الحدود
القانون جن = ح١ × (1 − رⁿ) ÷ (1 − ر) يعمل لأي نسبة غير 1. وحين تكون النسبة 1 تكون كل الحدود متساوية والمجموع ن × ح١ ببساطة.
وإن كانت النسبة بين −1 و1، يقترب مجموع الحدود اللانهائية من قيمة محددة: ح١ ÷ (1 − ر). فالمجموع 1 + 0.5 + 0.25 + … يقترب من 2 مهما أضفت من حدود.
والحاسبة تحسب الحدود واحدًا تلو الآخر حتى 10,000 حد، وتنبهك إن تجاوزت النتيجة الحد الذي يمكن حسابه.
الزيادة والنقص بنسبة ثابتة
كل ما يزيد بنسبة مئوية ثابتة متتابعة هندسية نسبتها (1 + النسبة): راتب يزيد 5% سنويًا يُضرب كل سنة في 1.05. وكل ما ينقص بنسبة ثابتة نسبته (1 − النسبة): سيارة تفقد 15% من قيمتها كل سنة تُضرب قيمتها في 0.85.
انتبه للفهرسة: الحد الأول هو القيمة في البداية، فالحد الخامس هو القيمة بعد أربع سنوات من التغير لا خمس. ولقيمة بعد خمس سنوات كاملة اطلب الحد السادس.
والفوائد المركبة تطبيق مباشر لهذه المتتابعة، ولها حاسبة خاصة تراعي الإيداعات الدورية.
طريقة الاستخدام
- 01أدخل الحد الأول.
- 02أدخل النسبة المشتركة: 2 للمضاعفة، و1.05 لزيادة 5%، و0.85 لنقص 15%.
- 03أدخل رتبة الحد المطلوب ن، بين 1 و10,000.
- 04يظهر الحد النوني ومجموع أول ن حدًا فورًا.
المعادلة المستخدمة
حن = ح١ × ر^(ن − 1) | جن = ح١ × (1 − رⁿ) ÷ (1 − ر)، ر ≠ 1أمثلة عملية
مثال 1: متتابعة 2، 4، 8، …
الحد الأول 2 والنسبة 2: الحد العاشر = 2 × 2⁹ = 1,024، ومجموع الحدود العشرة = 2 × (1 − 2¹⁰) ÷ (1 − 2) = 2,046.
مثال 2: راتب يزيد 5% سنويًا
راتب سنوي 120,000 ريال يزيد 5% كل سنة. في السنة الخامسة = 120,000 × 1.05⁴ = 145,860.75 ريال، ومجموع ما تتقاضاه في السنوات الخمس = 663,075.75 ريال.
مثال 3: استهلاك قيمة سيارة
سيارة قيمتها 100,000 ريال تفقد 15% سنويًا. أدخل الحد الأول 100,000 والنسبة 0.85 ون = 5: قيمتها في بداية السنة الخامسة 52,200.63 ريال.
نصائح مهمة
- لتحويل نسبة زيادة مئوية إلى نسبة مشتركة أضف 1 بعد القسمة على 100: 7% تصبح 1.07.
- تحقق أن النسبة ثابتة بقسمة أكثر من حد على سابقه.
- المجموع في أمثلة الاستهلاك والقيمة ليس له معنى عادة، والمفيد هو الحد النوني.
أخطاء شائعة يجب تجنّبها
- إدخال النسبة المئوية نفسها (5) بدل النسبة المشتركة (1.05).
- حساب القيمة بعد ن سنوات بالحد ن بدل الحد ن + 1.
- استخدام قانون المتتابعة الهندسية لزيادة بمقدار ثابت.
الأسئلة الشائعة
- ما هي المتتابعة الهندسية؟
- سلسلة أعداد يُضرب فيها كل حد في عدد ثابت ليعطي التالي، مثل 3، 9، 27، 81 حيث النسبة المشتركة 3.
- كيف أجد النسبة المشتركة؟
- اقسم أي حد على الحد الذي قبله. في 5، 15، 45: النسبة 15 ÷ 5 = 3.
- ماذا يحدث إذا كانت النسبة سالبة؟
- تتناوب إشارات الحدود بين موجب وسالب: 3، −6، 12، −24، 48، ومجموع هذه الحدود الخمسة 33.
- ما مجموع المتتابعة الهندسية اللانهائية؟
- إن كانت النسبة بين −1 و1 فالمجموع يقترب من الحد الأول ÷ (1 − النسبة). وإلا فالمجموع لا يقترب من قيمة محددة.
- ما الفرق بين المتتابعة الهندسية والحسابية؟
- الهندسية تتغير بالضرب في نسبة ثابتة، والحسابية بإضافة مقدار ثابت. النمو بنسبة مئوية هندسي، والزيادة بمبلغ ثابت حسابية.