دليل شامل للحاسبة
المتتابعة الحسابية سلسلة أعداد يزيد كل حد فيها على سابقه بمقدار ثابت يسمّى الفرق المشترك، مثل 2، 5، 8، 11. حدها النوني = الحد الأول + (ن − 1) × الفرق المشترك، ومجموع أول ن حدًا = ن × (الحد الأول + الحد الأخير) ÷ 2. في المتتابعة السابقة، الحد العاشر 29 ومجموع الحدود العشرة 155.
الحد النوني
لتصل إلى الحد العاشر من الحد الأول تضيف الفرق المشترك تسع مرات لا عشرًا، لأن الحد الأول لا يحتاج أي إضافة. ومن هنا القانون: حن = ح١ + (ن − 1) × د. في المتتابعة 2، 5، 8: ح١٠ = 2 + 9 × 3 = 29.
والفرق المشترك قد يكون سالبًا فتكون المتتابعة تنازلية: 4، 2، 0، −2. أو صفرًا فتكون كل الحدود متساوية. ولإيجاده من أي حدين متتاليين اطرح السابق من اللاحق.
مجموع الحدود وفكرة غاوس
تروى قصة شهيرة عن عالم الرياضيات غاوس وهو صغير: طلب المعلم جمع الأعداد من 1 إلى 100، فلاحظ غاوس أن 1 + 100 = 101، و2 + 99 = 101، وهكذا، فهناك 50 زوجًا مجموع كل منها 101، والمجموع 5,050.
وهذا بالضبط قانون المجموع: جن = ن × (ح١ + حن) ÷ 2. عدد الحدود مضروبًا في متوسط الحد الأول والأخير. لمتتابعة 2، 5، 8 حتى الحد العاشر: 10 × (2 + 29) ÷ 2 = 155.
متى تقابل المتتابعة الحسابية
كل زيادة ثابتة تتكرر هي متتابعة حسابية: ادخار مبلغ يزيد كل شهر بقدر ثابت، أو صفوف مقاعد في مسرح يزيد كل صف عن سابقه بمقعدين، أو أجرة تبدأ بمبلغ ثابت ويضاف لكل كيلومتر مبلغ محدد.
أما إن كانت الزيادة بنسبة لا بمقدار ثابت، كراتب يزيد 5% كل سنة، فهي متتابعة هندسية، ولها حاسبة خاصة.
إيجاد رتبة حد معين
إن كنت تعرف قيمة حد وتريد ترتيبه، فاقلب قانون الحد النوني: ن = (حن − ح١) ÷ د + 1. في المتتابعة 2، 5، 8، العدد 29 هو الحد (29 − 2) ÷ 3 + 1 = 10.
وإن لم تخرج ن عددًا صحيحًا، فالعدد ليس من حدود المتتابعة أصلًا.
طريقة الاستخدام
- 01أدخل الحد الأول من المتتابعة.
- 02أدخل الفرق المشترك: الفرق بين أي حد والحد الذي قبله، ويمكن أن يكون سالبًا.
- 03أدخل رتبة الحد المطلوب ن، وهو عدد صحيح يبدأ من 1.
- 04يظهر الحد النوني ومجموع أول ن حدًا فورًا.
المعادلة المستخدمة
حن = ح١ + (ن − 1) × د | جن = ن × (ح١ + حن) ÷ 2أمثلة عملية
مثال 1: متتابعة 2، 5، 8، …
الحد الأول 2 والفرق المشترك 3: الحد العاشر = 2 + 9 × 3 = 29، ومجموع الحدود العشرة = 10 × (2 + 29) ÷ 2 = 155.
مثال 2: خطة ادخار متصاعدة
تدّخر 100 ريال في الشهر الأول وتزيد 50 ريالًا كل شهر. في الشهر الثاني عشر تدّخر 100 + 11 × 50 = 650 ريالًا، ومجموع ما تدّخره في السنة 12 × (100 + 650) ÷ 2 = 4,500 ريال.
مثال 3: مقاعد مسرح
الصف الأول 20 مقعدًا وكل صف يزيد مقعدين، والمسرح 15 صفًا. الصف الأخير 20 + 14 × 2 = 48 مقعدًا، ومجموع المقاعد 15 × (20 + 48) ÷ 2 = 510.
نصائح مهمة
- تحقق من الفرق المشترك بين أكثر من زوج من الحدود المتتالية، فإن اختلف فالمتتابعة ليست حسابية.
- المجموع يساوي عدد الحدود × متوسط الحدين الأول والأخير، وهو أسهل طريقة لتذكّر القانون.
- جمع الأعداد من 1 إلى ن له صيغة قصيرة: ن × (ن + 1) ÷ 2.
أخطاء شائعة يجب تجنّبها
- ضرب الفرق المشترك في ن بدل (ن − 1) عند حساب الحد النوني.
- استخدام قانون المتتابعة الحسابية لزيادة بنسبة مئوية ثابتة.
- الخلط بين الحد النوني ومجموع الحدود.
الأسئلة الشائعة
- ما هي المتتابعة الحسابية؟
- سلسلة أعداد الفرق بين كل حدين متتاليين فيها ثابت، مثل 5، 9، 13، 17 حيث الفرق المشترك 4.
- كيف أحسب الحد النوني؟
- حن = الحد الأول + (ن − 1) × الفرق المشترك. الحد العشرون في 5، 9، 13: 5 + 19 × 4 = 81.
- كيف أحسب مجموع المتتابعة الحسابية؟
- اضرب عدد الحدود في مجموع الحدين الأول والأخير واقسم على 2. مجموع الأعداد من 1 إلى 100 هو 100 × 101 ÷ 2 = 5,050.
- كيف أجد الفرق المشترك؟
- اطرح أي حد من الحد الذي يليه. وإن كنت تعرف حدين متباعدين فاقسم الفرق بينهما على عدد الخطوات بينهما.
- كيف أعرف رتبة حد معين؟
- ن = (قيمة الحد − الحد الأول) ÷ الفرق المشترك + 1. وإن لم يكن الناتج عددًا صحيحًا فالعدد ليس من حدود المتتابعة.
- ما الفرق بين المتتابعة الحسابية والهندسية؟
- الحسابية تزيد بإضافة مقدار ثابت، والهندسية تزيد بالضرب في نسبة ثابتة. 2، 4، 6، 8 حسابية، و2، 4، 8، 16 هندسية.