دليل شامل للحاسبة
حاسبة نظرية تشيبيشيف تحسب أقل نسبة من البيانات تقع ضمن k من الانحرافات المعيارية حول المتوسط، أيًا كان شكل توزيعها، وتحدد المدى إن أدخلت المتوسط والانحراف المعياري. فضمن انحرافين معياريين يقع 75% من البيانات على الأقل؛ ولدرجات متوسطها 70 وانحرافها 10، يقع 75% منها على الأقل بين 50 و90. وتقارن الحاسبة النتيجة بالتوزيع الطبيعي.
ما تقوله النظرية
لأي مجموعة بيانات، مهما كان شكلها، تقع نسبة لا تقل عن 1 − 1 ÷ k² من القيم ضمن k من الانحرافات المعيارية حول المتوسط، بشرط k > 1. فلـk = 2 النسبة 75% على الأقل، ولـk = 3 نحو 88.9%، ولـk = 4 نحو 93.8%.
وبالمقابل لا تزيد النسبة خارج المدى على 1 ÷ k²: ربع البيانات على الأكثر خارج انحرافين معياريين. وهذا مفيد لتقدير القيم المتطرفة دون معرفة شكل التوزيع.
مقارنة بالتوزيع الطبيعي
إذا كانت البيانات طبيعية (على شكل الجرس) فالنسب أعلى بكثير: 95.45% ضمن انحرافين، و99.73% ضمن ثلاثة. فنظرية تشيبيشيف حد أدنى متحفظ يصلح لأي توزيع، والقاعدة التجريبية (68-95-99.7) خاصة بالتوزيع الطبيعي.
ولذلك تُستعمل حين يكون التوزيع ملتويًا أو مجهولًا، كالدخل وأوقات الانتظار وأسعار العقار، وحين نريد حكمًا مضمونًا لا تقريبيًا.
طريقة الاستخدام
- أدخل عدد الانحرافات المعيارية k، وهو أكبر من 1.
- أدخل المتوسط والانحراف المعياري إن أردت معرفة حدود المدى.
- اضغط «احسب» لترى أقل نسبة داخل المدى وأكبر نسبة خارجه وحدي المدى.
المعادلة المستخدمة
أقل نسبة داخل المدى = 1 − 1 ÷ k² | المدى = المتوسط ± k × الانحراف المعياري
أمثلة عملية
- مثال 1: ضمن انحرافين معياريين
- k = 2: 75% على الأقل داخل المدى و25% على الأكثر خارجه؛ للمتوسط 70 والانحراف 10 المدى من 50 إلى 90.
- مثال 2: ضمن 3 انحرافات
- k = 3: 88.89% على الأقل داخل المدى؛ للمتوسط 500 والانحراف 50 المدى من 350 إلى 650.
نصائح مهمة
- استعملها حين لا تعرف شكل التوزيع أو تشك في التوائه.
- إن كانت البيانات طبيعية فاستعمل القاعدة التجريبية للحصول على نسب أدق.
- احسب المتوسط والانحراف المعياري أولًا بحاسبة الانحراف المعياري.
أخطاء شائعة يجب تجنّبها
- استعمال k أقل من 1 أو يساويه، فالنظرية لا تعطي شيئًا حينها.
- قراءة النسبة على أنها النسبة الفعلية، وهي حد أدنى فقط.
- الخلط بينها وبين القاعدة التجريبية الخاصة بالتوزيع الطبيعي.
الأسئلة الشائعة
- ما نظرية تشيبيشيف؟
- تنص على أن 1 − 1 ÷ k² على الأقل من أي بيانات تقع ضمن k من الانحرافات المعيارية حول المتوسط.
- ما الفرق بينها وبين القاعدة التجريبية؟
- القاعدة التجريبية للتوزيع الطبيعي فقط وتعطي نسبًا دقيقة، وتشيبيشيف لأي توزيع وتعطي حدًا أدنى.
- هل يمكن أن يكون k عددًا عشريًا؟
- نعم، أي عدد أكبر من 1، مثل 1.5 الذي يعطي 55.6% على الأقل.