دليل شامل للحاسبة
حاسبة مجموع المربعات تحسب مجموع مربعات انحرافات القيم عن متوسطها (SS)، ومجموع مربعات القيم نفسها Σx². فللقيم 3، 5، 7، 9، 11 المتوسط 7 ومجموع مربعات الانحرافات 40. ومجموع المربعات بسط التباين، وأساس تحليل التباين (ANOVA) والانحدار الخطي.
طريقتان للحساب
بالتعريف: اطرح المتوسط من كل قيمة، وربّع الناتج، واجمع: (3 − 7)² + (5 − 7)² + (7 − 7)² + (9 − 7)² + (11 − 7)² = 16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40.
وبالطريقة المختصرة: Σx² − (Σx)² ÷ n = 285 − 35² ÷ 5 = 285 − 245 = 40، وهي أسرع في الحساب اليدوي لأنها لا تحتاج طرح المتوسط من كل قيمة.
أين يُستعمل؟
اقسم مجموع المربعات على n − 1 فيكون تباين العينة، أو على n فيكون تباين المجتمع. وفي تحليل التباين يُقسم المجموع الكلي إلى مجموع مربعات بين المجموعات وداخلها، وفي الانحدار إلى ما يفسره النموذج وما يبقى خطأً.
ومعامل التحديد R² في الانحدار نسبة مجموع المربعات المفسَّر إلى المجموع الكلي.
طريقة الاستخدام
- أدخل البيانات مفصولة بفواصل أو مسافات.
- لا حاجة لحساب المتوسط مسبقًا.
- اضغط «احسب المجموع» لترى مجموع مربعات الانحرافات ومجموع مربعات القيم والمتوسط.
المعادلة المستخدمة
SS = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)² ÷ n
أمثلة عملية
- مثال 1: 3، 5، 7، 9، 11
- المتوسط 7، وSS = 40، وΣx² = 285.
- مثال 2: درجات طلاب
- المتوسط 83.125، وSS = 896.875، وΣx² = 56,175.
نصائح مهمة
- استعمل الطريقة المختصرة للحساب اليدوي.
- انتبه للفرق بين Σx² و(Σx)².
- احتفظ بالمنازل العشرية أثناء الحساب ولا تقرّب إلا في النهاية.
أخطاء شائعة يجب تجنّبها
- الخلط بين مجموع مربعات الانحرافات ومجموع مربعات القيم.
- تربيع المجموع بدل جمع المربعات.
- تقريب المتوسط قبل الطرح فيتراكم الخطأ.
الأسئلة الشائعة
- ما مجموع المربعات؟
- مجموع مربعات انحرافات القيم عن متوسطها.
- ما علاقته بالتباين؟
- التباين = مجموع المربعات ÷ (n − 1) للعينة أو ÷ n للمجتمع.
- هل يكون مجموع المربعات سالبًا؟
- لا، وأصغر قيمة له صفر حين تتساوى كل القيم.