دليل شامل للحاسبة
حاسبة المضروب (العاملي) تحسب n! أي حاصل ضرب الأعداد الصحيحة من 1 إلى n، لأي عدد حتى 1000، بدقة كاملة حتى 25! ثم بالصيغة العلمية، مع عدد أرقامه وعدد الأصفار في آخره. فـ5! = 120، و10! = 3,628,800، و100! عدد من 158 رقمًا ينتهي بـ24 صفرًا. ويُستعمل المضروب في التباديل والتوافيق والاحتمالات.
ما المضروب؟
مضروب العدد n، ويُكتب n!، هو n × (n − 1) × … × 2 × 1. فـ4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. ويُعرَّف 0! = 1، لأن هناك طريقة واحدة لترتيب لا شيء، وبهذا التعريف تصح قوانين التوافيق.
والمضروب هو عدد طرق ترتيب n من الأشياء المختلفة في صف: 5 كتب تُرتّب على رف بـ120 طريقة.
يكبر بسرعة هائلة
المضروب أسرع نموًا من أي قوة لعدد ثابت: 10! أكثر من ثلاثة ملايين، و20! يزيد على مليار مليار. ولذلك تكتبه الحاسبة بالصيغة العلمية بعد 25!.
ولمعرفة عدد الأصفار في آخره عُدّ عوامل 5، لأن كل صفر يأتي من 2 × 5 والاثنينات أكثر: أصفار 100! = ⌊100/5⌋ + ⌊100/25⌋ = 20 + 4 = 24.
طريقة الاستخدام
- أدخل عددًا صحيحًا من 0 إلى 1000.
- لا حاجة لإدخال شيء آخر.
- اضغط «احسب المضروب» لترى قيمته وعدد أرقامه والأصفار في آخره.
المعادلة المستخدمة
n! = n × (n − 1) × … × 2 × 1، و0! = 1
أمثلة عملية
- مثال 1: 5!
- 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120، من 3 أرقام وينتهي بصفر واحد.
- مثال 2: 10!
- 3,628,800، من 7 أرقام وينتهي بصفرين.
- مثال 3: 100!
- نحو 9.332621 × 10¹⁵⁷، من 158 رقمًا وينتهي بـ24 صفرًا.
نصائح مهمة
- اختصر الكسور قبل الضرب: 10! ÷ 8! = 10 × 9 = 90.
- استعمل المضروب في التباديل والتوافيق بدل عدّ الحالات يدويًا.
- للأعداد الكبيرة يكفي غالبًا معرفة عدد الأرقام أو الصيغة العلمية.
أخطاء شائعة يجب تجنّبها
- اعتبار 0! = 0، والصحيح أنه 1.
- حساب 10! ÷ 8! بقسمة 10 على 8.
- عدّ الأصفار بقسمة n على 10 بدل عدّ عوامل 5.
الأسئلة الشائعة
- لماذا 0! يساوي 1؟
- لأن هناك طريقة واحدة لترتيب مجموعة فارغة، ولكي يصح القانون n! = n × (n − 1)! عند n = 1.
- كم يساوي 10!؟
- 3,628,800.
- كم صفرًا في آخر 100!؟
- 24 صفرًا.